МОНТАЖ (франц. montage - подъём установка, сборка, от monter - поднимать), сборка и установка сооружений конструкций, технологического оборудования агрегатов, машин (см. Сборка машин, аппаратов, приборов и др. устройств и готовых частей и элементов.
МОНТАЖ в строительстве - основной производственный процесс, выполняемый при возведении зданий и сооружений или и реконструкции, в результате которого устанавливают в проектное положение строительные конструкции, инженерное технологическое оборудование и др. МОНТАЖ технологического оборудования включает также присоединение его к источникам энергоснабжения системам очистки и удаления отходов оснащение приборами, средствами автоматизации и контроля.
СТРОИТЕЛЬНО-МОНТАЖНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ в СССР, организационно обособленные производственно-хозяйственные единицы, основным видом деятельности которых является строительство новых, реконструкция, капитальный ремонт и расширение действующих объектов (предприятий, их отдельных очередей, пусковых комплексов, зданий, сооружений), а также монтаж оборудовани я. К государственным СТРОИТЕЛЬНО-МОНТАЖНЫМ ОРГАНИЗАЦИЯМ относятся строительные и монтажные тресты (тресты-площадки, тресты гор. типа, территориальные, союзные специализированные тресты); домостроительные, заводостроительные и сельские строительные комбинаты; строительные, (монтажные) управления и приравненные к ним организации (напр., передвижные механизированные колонны, строительно-монтажные поезда и др.).
ПРОЕКТИРОВАНИЕ (от лат. projectus, буквально - брошенный вперёд), процесс создания проекта - прототипа, прообраза предполагаемого или возможного объекта, состояния. Различают этапы и стадии ПРОЕКТИРОВАНИЯ, характеризующиеся определённой спецификой. Предметная область ПРОЕКТИРОВАНИЯ постоянно расширяется. Наряду с традиционными видами ПРОЕКТИРОВАНИЯ (архитектурно-строительным, машиностроительным, технологическим и др.) начали складываться самостоятельные направления ПРОЕКТИРОВАНИЯ человеко-машинных систем (решающих, познающих, эвристических, прогнозирующих, планирующих, управляющих и т. п.) (см. Система "человек и машина"), трудовых процессов, организаций, экологическое, социальное, инженерно-психологич., генетическое ПРОЕКТИРОВАНИЕ и др. Наряду с дифференциацией ПРОЕКТИРОВАНИЯ идёт процесс его интеграции на основе выявления общих закономерностей и методов проектной деятельности.
ПРОМСТРОЙПРОЕКТ, проектный институт в ведении Госстроя СССР. Находится в Москве. Организован в 1933. В составе института архитектурно-строительные и конструкторские отделы; ПРОМСТРОЙПРОЕКТ возглавляет объединение "Союзхимстройниипроект" с проектными институтами в Киеве, Ростове-на-Дону, Тольятти, Алма-Ате. Разрабатывает проекты (архитектурно-строительные и сан.-технич. части) производственных зданий и сооружений крупнейших промышленных предприятий автомобильной, машиностроит., металлургич., химич. и др. отраслей пром-сти; схемы генеральных планов пром. узлов и упорядочения существующих пром. районов; мероприятия по повышению уровня индустриализации строительтсва за счёт унификации и типизации зданий, сооружений и конструкций и внедрения эффективных строит. материалов; нормативные документы и методич. указания по проектированию пром. зданий и сооружений. Периодически публикует реферативную информацию "Строительное проектирование промышленных предприятий". Награждён орденом Трудового Красного Знамени (1958)
| тор (в 1501-19) Краковского университета. Его "Трактат о двух Сарматиях" (изд. в 1517, рус. пер.
1936), написанный на основе рассказов рус. людей, приезжавших в Польшу, был одним из гл. источников изучения России в Зап. Европе 16 в. Соч. М. "Польская хроника" (1519)- первая появившаяся в печати история Польши - проникнута патриотизмом и гуманизмом. В 1521 эта книга была конфискована за содержащиеся в ней антиклерикальные мотивы, а затем издана заново с существ, изменениями.
Соч.: Chronica Polonorum, Cracoviae, 1519.
Лит.: Maciej z Miechowa. 1457 - 1523. His-toryk, geograf, lekarz, organizator nauki. Wroclaw-Warsz., 1960.
МАТВЕЙ из Яновa (Matej z Janova) (p. между 1350 и 1355-ум. 30.11.1393, Прага), чешский мыслитель, один из представителей раннего реформационного движения, идейный предшественник Я. Гуса. Получил образование (70-е гг.) в Пражском и Парижском ун-тах (отсюда др. прозвище М. - Парижский). Изобличал католич. духовенство, призывал отнять у церкви богатства и политич. власть, ликвидировать монастыри, а монахов заставить трудиться. Выступал в защиту простого народа, угнетение которого считал несправедливым.
Соч.: Regulae veteris et Novi Testamenti, dil. 1-5, Praha, 1908-26.
Лит.: Kubal V./M., Matej z Janova, jeho zivot, spisy a uceni, Praha, 1905.
МАТВЕЙ КОРВИН (Matthias Corvinus) (23.2.1443-6.4.1490), встречающееся в литературе имя венгерского короля Матьяиш Хуньяди.
МАТВЕЙ ПАРИЖСКИЙ, правильнее Мэтью Парис (Matthew Paris, Matheus Parisiensis) (ум. 1259?), английский хронист, монах монастыря Сент-Олбанс (с 1217). Гл. труд М. П.-"Большая хроника". Первая часть представляет собой несколько переработанную и дополненную хронику предшественника М. П.- Роджера Уэндоверского; вторая, написанная самим М. П., охватывает события 1235-59 и является важным источником по истории Англии этого периода. М. П. иллюстрировал хронику картами и миниатюрами.
С о ч.: Chronica majora, ed. by H. R. Luard, v. 1-7, L., 1872-84.
Лит.: Вайнштейн О. Л., Западноевропейская средневековая историография, М - Л , 1964 (см. Указат. имен); V a u g h a n R., Matthew Paris, Camb., 1958.
МАТЕ, м а т э (заимствование из языка южноамер. индейцев кечуа), высушенные измельчённые листья вечнозелёного дерева парагвайский чай. М. наз. также и само дерево. М. содержит до 1,8% кофеина, 0,05% теобромина, 9- 12% дубильных веществ, эфирное масло, витамины А, В, С, лимонную к-ту и др. Используется для приготовления тонизирующего напитка, употребляемого в Юж. Америке как чай, к-рый пьют из маленького сосуда (сделанного из плода тыквы), также называемого М.
МАТЕВ Павел Христов (р.6.12.1924, Оризово, Старозагорский окр.), болгарский поэт и гос. деятель, нар. деятель культуры Болгарии (1971).Чл. Болгарской коммунистич. партии (БКП) с 1945. Окончил филологич. ф-т Софийского ун-та. В 1963-66 гл. редактор журн. "Септември" ("Сентябрь"), с 1966 пред. К-та по делам иск-ва и культуры НРБ. Для ранних стихов М. (сб-ки "В строю", 1951; "Ясные дни", 1952; "Долг", 1955; "С верой в людей", 1959) характерны открытое публицистич. выражение обществ, позиции лирич. героя, высокий гражд. пафос. В книгах стихов "Человеческая тревога" (1960), "Родословная" (1963), "Чайки отдыхают на волнах" (1965; пр. им. Димитрова, 1966), "Неоскорблённые миры" (1969), "Накопленные молчания" (1973) усиливается психологическая характеристика современника, патриота социалистич. Болгарии. М. принадлежит ряд выступлений по общим вопросам социалистич. культуры, иск-ва.
Соч. в рус. пер.: Сигналы сердца, М., 1966; Лирика, Л., 1968; Чайки отдыхают на волнах. [Предисл. С. Машинского], М., 1968. Лит.: Д а н ч е в П., Единен в преображе-нията си, "Септември", 1972, № 11, с. 155- 182. В.И.Злыднев.
МАТЕВОСЯН Грант Игнатьевич (р.3.3. 1935, с. Ахнидзор, ныне Туманянского р-на), армянский советский писатель. Окончил Арм. пед. ин-т (1964). Работал в типографии. Печатается с 1959. Автор повести "Мы и наши горы" (1962), рассказов "Август", "Алхо", "Месроп" Хвсе-1967, премия журн. "Дружба народов", 1967), "Буйволица" (1968) и др. Творческие поиски М. отмечены стремлением к созданию "монументального" характера; простота повествования сочетается у писателя с напряжённостью изображаемых нравств. конфликтов.
Соч. в рус. пер.: Мы и наши горы, М., 1969; Август, М., 1972; Мать едет женить сына. Повесть, "Дружба народов", 1973, № 10.
Лит.: Семёнов В л., Республика пастухов, "Молодая гвардия", 1968, № 6; Аннинский Л., Мятежная безмятежность, "Литературная Армения", 1971, № 7-8. Г. А. Белая.
МАТЕЕВ Евгени Георгиев (р. 1.4.1920, Тырговиште), болгарский экономист, гос. и обществ, деятель, акад. Болгарской АН (1967). Чл. Болгарской коммунистич. партии (БКП) с 1944, чл. ЦК БКП с 1962. Пред. Гос. комитета по планированию (1951-52), пред. ЦСУ Болгарии (1953- 1960), с 1963 министр. Осн. труды по проблемам политич. экономии социализма, нар.-хоз. планированию и истории экономич. учений. Пр. им. Димитрова (1962).
Соч.: Субективната школа и марксистско-ленинската политическа економия, 2 изд., София, 1949; Производителността на труда при социализма и народностопанското планиране, София, 1956; Перспективно планиране. Междуотраслови връзки и технически коефициенти, София, 1963; Баланс на народното стопанство, 2 изд., София, 1966.
МАТЕЗИУС (Mathesius) Вилем (3.8.1882, Пардубице,-12.4.1945, Прага), чешский языковед. Основатель и президент Пражского лингвистического кружка. Специалист в области общей лингвистики и англ, яз. Одним из первых обосновал синхронный подход к изучению языка ("О потенциальности языковых явлений", 1911). Один из основоположников функциональной лингвистики, рассматривающей элементы языка с точки зрения их роли в процессе общения. Занимался характерологией языка, под к-рой понимал сопоставление элементов различных языков для выяснения типич. свойств данного языка. Разработал теорию актуального членения предложения. Осн.работы:"Чешский язык и общая лингвистика" (1947), "Функциональный анализ современного английского языка на основе общей лингвистики" (1961, вышли посмертно). Лит.: Пражский лингвистический кружок, М., 1967; Trnka В., V. Mathesius, в кн.: Portraits of Linguists, v. 2, Bloomington, 1966. В. М. Живов.
МАТЕЙКА (Matiegka) Йиндржих (31.3. 1862, Бенешов, - 4. 8. 1941), чешский антрополог. В 1918-34 проф. Пражского ун-та, при естеств. факультете к-рого основал антропологич. кафедру и "Музей человека" им. А. Хрдлички. В 1923 основал журн. "Антропология" ("Anthropologie"), где выступал со статьями против расистских измышлений. Осн. труды: "Черепа богемцев" (1891), "Всеобщая наука о племенах" (1929), "Соматология школьной молодёжи" (1927), "Пршедмостский человек" (кн. 1-2, 1934-38). Последняя работа посвящена описанию скелетных остатков людей эпохи позднего палеолита, открытых на терр. Чехословакии (см. Пршедмости).
МАТЕЙКО (Matejko) Ян (24.6.1838, Краков,-1.11.1893, там же), польский живописец. Учился в Школе изящных иск-в в Кракове (1852-58), в АХ в Мюнхене (1859) и Вене (1860). С 1860 работал в Кракове, где с 1873 был директором Школы изящных иск-в. Писал гл. обр. многофигурные композиции, поев, ключевым моментам истории Польши (чаще ср.-век.), стремясь откликнуться на недавние и совр. политич. события. В ранних работах своекорыстной шляхте, предающей нац. интересы, М. противопоставлял трагико-патетич. образы патриотов ("Станьчик", 1862; "Проповедь Скарги", 1864; "Рейтан", 1866), в аллегорич. форме защищал себя от нападок офиц. критики ("Приговор Матейке", 1867; все- в Нац. музее, Варшава). В его огромных, эффектно срежиссированных батальных и ист. композициях 1870-80-х гг. достигнут впечатляющий драматизм действия, впрочем, нередко переходящий в чрезмерный пафос и подавляемый обилием мизансцен и историко-бытовых деталей ("Баторий под Псковом", 1871-72;"Битва под Грюнвальдом", 1878, - обе в Нац. музее, Варшава; "Прусская дань", 1882; "Костюшко под Рацлавицами", 1888, - обе в Нац. музее, Краков). В замысле нек-рых поздних работ М. проявилось некритич. отношение к прошлому страны. М. работал также в жанрах пейзажа и портрета ("Вид Бебека под Константинополем", 1872, портрет детей художника, 1879,- оба в Львовской карт, гал.), обращался к монументальной живописи (росписи в краковском костёле Девы Марии, 1889-91). Творчество М. высоко ценилось такими крупными деятелями рус. культуры, как В. В. Стасов, И. Е. Репин и др.
Я. М а т е й к о. Автопортрет. 1892. Национальный музей. Варшава.
Лит.: Стажинский Ю., Ян Матейко, Варшава, 1962; Островский Г., Ян Матейко, М., 1965; Т г е t е г М., Matejko, Lwow-Warsz., [19391; В о g u с k i J.. Matejko, Warsz., 1956.
МАТЕМАТИКА.
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ
Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
"Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное" (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение М. наполняется всё более богатым содержанием.
Математика и другие науки. Приложения М. весьма разнообразны. Принципиально область применения математич. метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение мате-матич. метода в различных случаях различны. Никакая определённая матема-тич. схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логич. анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математич. метод отступает на задний план; в этом случае диалектич. анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального ма-тематич. исследования, в частности создания специальной символич. записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математич. метода.
Типичным примером полного господства математич. метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математич. выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел - замена их "материальными точками". Но решение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в случае п = 3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математич. анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математич. следствий из принятой схемы.
С переходом от механики к физике ещё не происходит заметного уменьшения роли математич. метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математич. аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математич. теории, а в выборе предпосылок для математич. обработки и в истолковании результатов, полученных математич. путём. На примере ряда физич. теорий можно наблюдать способность математич. метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классич. образцом может служить соотношение между макроскопич. теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно, и статистич. теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определённому уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определённый смысл. Статистич. теория диффузии исходит из рассмотрения мик-роскопич. случайных перемещений диффундирующих частиц под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математич. теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближённо) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория. Приведённый пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере - законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере - дифференц. уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.
В биологич. науках математич. метод играет более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математич. метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математич. метода в биологич., социальных и гуманитарных науках осуществляется гл. обр. через кибернетику (см. Кибернетика биологическая, Кибернетика медицинская, Кибернетика экономическая). Существенным остаётся значение М. для социальных дисциплин (как и для биологич. наук) в форме подсобной науки - математич. статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого историч. этапа приобретают столь доминирующее положение, что математич. метод часто отступает на задний план.
Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из историч. очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математич. методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математич. теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математич. теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезич. работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с решения технич. проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т. д. Из запросов связи возник новый раздел теории вероятностей - теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математич. логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технич. задачи. Целиком на технич. почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактич. получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технич. проблем. В связи с возможностями, к-рые открыли вычислительные машины для решения практич. задач, всё большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретич. М. дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная М. сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практич. проблем, включая проблему использования атомной энергии и космич. исследования.
II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 В. Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6-5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Первые задачи механики и физики [за исключением отдельных исследований греч. учёного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий. Единственной наукой, к-рая задолго до широкого развития математич. изучения явлений природы в 17-18 вв. систематически предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, напр., раннее развитие тригонометрии.
В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрич. фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитич. геометрии франц. учёного Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.
Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание рус. математиком Н. И. Лобачевским его "воображаемой геометрии", получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение М. столь важные новые черты, что М. в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.
1. Зарождение математики. Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел .Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. действий (из к-рых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку - арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее - астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии - начатки тригонометрии.
Сохранившиеся математич. тексты Др. Египта (1-я пол. 2-го тыс. до н. э.) состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик (см. Папирусы математические).
Математич. текстов, позволяющих судить о М. в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от 2-го тыс. до н. э. до возникновения и развития греч. М. Вавилония этого времени получила от более раннего шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему счисления, заключавшую в себе уже позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. Кроме таблиц обратных чисел, имелись таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубических корней. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и нек-рые начатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.
2. Период элементарной математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметич. вычислений, способов определения площадей и объёмов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематич. развития её основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создаётся систематич. учение о величинах к измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте.
Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысяче-летнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у греч. математика Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически - в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. франц. математиком Ф. Виетом.
Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.
Период элементарной М. заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин.
Древняя Греция. Развитие М. в Др. Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении техники проведения вычислений, искусства решения задач алгебраич. характера и разработки математич. средств астрономии лишь в эллинистич. эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Др. Греции вступила в совершенно новый этап логич. развития. Появилась потребность в отчётливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематич. построения математич. теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Др. Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математические сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами).
Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли; начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7- 6 вв. до н. э.) первых греч. геометров и философов Фалеса Милетского и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметич. прогрессии [в частности, 1 + 3 + 5 + + ... + (2п - 1) = n2], изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (напр., разыскание т. н. совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистич., магич. значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрич. теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек чпифагоровых чисел", т. е. троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению а2 + b2 = с2. В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры 6-5 вв. до н. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом теоремой Пифагора), о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греч. геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й пол. 5 в. до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского. Первый систематич. учебник геометрии приписывают Гиппократу Хиосскому. К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логич. тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э.- разыскание всех пяти правильных многогранников - результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания. На границе 5 и 4 вв. до н. э. Демокрит, исходя из атомистич. представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший позднее для Архимеда исходным пунктом разработки метода бесконечно малых. В 4 в. до н. э. в обстановке политич. реакции и упадка могущества Афин наступает эпоха известного подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистич. философией. Наука о числах строго отделяется здесь от "искусства счисления", а геометрия - от "искусства измерения". Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объёмов, Аристотель налагает общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии вводится требование об ограничении построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки. Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логич. анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского.
Эллинистическая и римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математич. исследований являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших гос. и строит, задач и невиданного ранее по своей широте гос. покровительства науке, греч. М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов во всём эллинистическом и римском мире, Александрия с её "музеем", являвшимся первым н.-и. институтом в совр. смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей • напряжённостью математич. творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский.
В своих "Началах" Евклид собрал и подверг окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. "Начала" Евклида). Вместе с тем в "Началах" же Евклид впервые заложил основы систематич. теории чисел, -доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрич. работ Евклида, не вошедших в "Начала", и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений. Основной заслугой
Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины; зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристич. приёмах Архимеда, не получили дальнейшего развития. Следует сказать, что возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. до н. э. к отказу от математич. строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономич. вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств
[1832-8.jpg]
где р - длина окружности с диаметром d. Это отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть "нестрогая" М., было позднее надолго забыто.
Существенным недостатком всей М. древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Как уже было указано, это обстоятельство привело философию 4 в. до н. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действительности, в теории пропорций и в исчерпывания методе математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры (допускавшейся в рамках строгих концепций евклидовых "Начал" лишь в чрезвычайно стеснительной форме "геометрической алгебры" отрезков, площадей и объёмов). Значительные успехи в этом направлении можно отметить в "Метрике" Герона. Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления встречается лишь в "Арифметике" Диофанта, посвящённой в основном решению уравнений. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность геометрич. или механич. приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней так же, как и к вычислит, геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферич. тригонометрии создаются Менелаем и Клавдием Птолемеем.
В области чистой М. деятельность учёных последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени [Паппа (Зв.), Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли уже в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, включённой в астрономию тригонометрии, и откровенно нестрогой вычислит, геометрии Герона в единую, способную к большому развитию науку.
Китай. Наличие у кит. математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраич. методам обнаруживает уже "Арифметика в девяти главах", составленная по более ранним источникам во 2-1 вв. до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном.В этом сочинении описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 вв.) и более полно Цинь Цзю-шао (13 в.) дают изложенное на примерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Примером высокого развития вычислит, методов в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я пол. 5 в.), к-рый показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах 3,1415926<Пи<3,1415927. Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрич. задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я пол. 7 в.). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней былодано в работах математиков 13-14 вв. Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цэе.
Индия. Расцвет инд. М. относится к 5-12 вв. (наиболее известны инд. математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две осн. заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление совр. десятичной системы счисления и систематич. употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь "арабскими", не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой инд. математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное значение. В тригонометрии заслугой инд. математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.
Средняя Азия и Ближний Восток. Араб, завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью араб.халифов привели к тому, что в течение 9-15вв. учёные Ср.Азии, Бл.Востока и Пиренейского п-ова пользовались араб, языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого междунар. общения и гос. поддержки больших науч. начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 в. деятельность Улугбека, к-рый при своём дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными астрономии, наблюдения, вычисление математич. таблиц и т. п.
В зап.-европ. науке длительное время господствовало мнение, что роль -"арабской культуры" в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего мира и Индии. (Так, сочинения греч. математиков впервые стали известны в Зап. Европе по араб. переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на араб, языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам современной советской Ср. Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.
В 1-й пол. 9 в. Мухаммед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоят, науки. Термин "алгебра" производят от начала названия сочинения Хорезми "Аль-джебр", по к-рому европ. математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраич. трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические (при помощи конич. сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Ср. Азии и Бл. Востока применяли в больших науч. вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии).
В связи с астрономич. и геодезич. работами большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани ввёл в употребление тригонометрич. функции синус, тангенс и котангенс, Абу-лъ-Вефа - все шесть тригонометрич. функций, он же выразил словесно алгебраич. зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10' с точностью до 1/604 и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферич. треугольников. Насирэддин Туей достиг известного завершения разработки сферич. тригонометрии, алъ-Каши дал систематич. изложение арифметики десятичных дробей, к-рые справедливо считал более доступными, чем шестидесятиричные. В связи с вопросами извлечения корней аль-Каши сформулировал словесно формулу бинома Ньютона, указал правило образования коэффициентов Сnm=Сn-1m+Сn-1m-1. В "Трактате об окружности"
(ок. 1427) аль-Каши, определяя периметры вписанного и описанного 3*228-угольников, нашёл я с семнадцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов аль-Каши дал весьма совершенный итерационный метод численного решения уравнений. Западная Европа до 16 в. 12-15 вв. являются для зап.-европ. М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший ещё к открытию особенно значит, новых математич. фактов, общий характер европ. математич. культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремит, развития М. в последующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итал, городов привёл к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в. первых латинских переводов греч. и араб, математич. сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои "Книгу об абаке" (1202) и "Практику геометрии" (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели большой успех. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники получают ещё более широкое распространение. Основными центрами теоретич. научной мысли в это время становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания практич. правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [англ, математик Т. Брадвардин (1-я пол. 14 в.) и Н. Орем (сер. 14 в.)] и особенно во введении дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [франц. математик Н. Шюке (конец
15 в.)] показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греч. и араб, авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных три-гонометрич. таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака Региомонтаном (И. Мюллером). Значительно совершенствуется математич. символика (см. Знаки математические). Развиваются научная критика и полемика. Поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в соч. "Цветок" (около 1225), в котором собраны предложенные ему и блестяще решённые им задачи, доказал неразрешимость уравнения: х3+2х2+10x=20 не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей вида
[1832-9.jpg]
Западная Европа в 16 в. Этот век был первым веком превосходства Зап. Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие Н. Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея), так в целом обстоит дело и в М., несмотря на то, что в нек-рых направлениях европ. наука ещё отстаёт от достижений среднеазиатских математиков 15 в. и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европ. М., возникают лишь в следующем, 17 в. В 16 же веке казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраич. решения уравнений третьей (С. Ферро, ок. 1515, и позднее и независимо Н. Тарталъей, ок. 1530; об истории этих открытий см. Кардана формула) и четвёртой (Л. Феррари, 1545) степеней, к-рое считалось в течение столетий неосуществимым. Дж. Кардана исследовал уравнения третьей степени, открыв т. н. неприводимый случай, в к-ром действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с комплексными числами. Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета - основателя настоящего алгебраич. буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначались лишь неизвестные). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 в., излагается нем. художником А. Дюрером (1525). С. Стевин разработал (1585) правила арифметич. действий с десятичными дробями.
Россия до 18 в. Математич. образование в России находилось в 9-13 вв. на уровне наиболее культурных стран Вост. и Зап. Европы. Затем оно было надолго задержано монг. нашествием. В 15-16 вв. в связи с укреплением Рус. гос-ва и экономич. ростом страны значительно выросли потребности общества в математич. знаниях. В конце 16 в. и особенно в 17 в. появились многочисл. рукописные руководства по арифметике, геометрии, в к-рых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практич. деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).
В Др. Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на слав, алфавите (см. Славянские цифры). Славянская нумерация в русской математич. лит-ре встречается до нач. 18 в., но уже с конца 16 в. эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.
Наиболее древнее известное нам математич. произведение относится к 1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифмстико-хронологич. расчётам, к-рые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математич. части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметич. рукописи конца 16-17 вв. содержат, помимо описания славянской и араб, нумерации, арифметич. операции с целыми положит, числами, а также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практич. использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания и излагался т. н. дощаный счёт - прототип русских счётов. Подобным же образом была построена и первая арифметич. часть знаменитой "Арифметики" Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрич. рукописях, в большинстве своём преследовавших также практич. цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённых, использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.
3. Период создания математики переменных величин. С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. "Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчислени е..." (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения (см. Переменные и постоянные величины). Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет ' вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.
Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из осн. объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу 18 в. и нач. 19 в. Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и анали-тич. методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр, при графич. изображении функциональных зависимостей (см. Координаты).
Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения Р(х) = 0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого вычисления, в комплексной же области привёл франц. математика Ж. Д'Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству "основной теоремы алгебры" о существовании у любого алгебраич. уравнения хотя бы одного корня. Достижения "чистой" алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17-18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраич. фактов и методов от фактов и методов математич. анализа типично лишь для более позднего времени (2-я пол. 19 в.- 20 в.). В 17-18 вв. алгебра в значит, мере воспринималась как первая глава анализа, в которой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.
Создание новой М. переменных величин в 17 в. было делом учёных передовых стран Зап. Европы, в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница. В 18 в. одним из осн. центров научных математич. исследований становится также Петерб. академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени иностр. происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли) и постепенно складывается русская математич. школа, блестяще развернувшая свои исследования с нач. 19 в. 17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически связан с созданием в 17 в. математич. естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. На протяжении 17 в. действительно глубокие и обширные математич. исследования относятся лишь к двум областям естественных наук - к механике [Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), И. Кеплер - законы движения планет (1609, 1619), И. Ньютон - закон всемирного тяготения (1687)] и к оптике [Г. Галилей (1609) и И. Кеплер (1611) сооружают зрительные трубы, И. Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, X. Гюйгенс и Р. Гук - на основе волновой теории]. Тем не менее рационалистич. философия 17 в. выдвигает идею универсальности математич. метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи в развитии М.
Серьёзные новые математич. проблемы выдвигают перед М. в 17 в. навигация (необходимость усовершенствования часового дела и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика. Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практич. значение М. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логич. категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.
Математич. достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов (Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614). В 1637 Р. Декарт публикует свою "Геометрию", содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. В тесной связи с возможностью представить корни уравнения Р(х) = 0 точками пересечения кривой у = Р(х) с осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе по существу приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы ещё не выделены и не развиты. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) "неделимых" метод, применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. Так, в геометрич. форме были по существу созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.
Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессии, изучил Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор (1668) получил разложение ln(1+х) в степенной ряд. И. Ньютон нашёл (1665- 1669) формулу бинома для любого показателя, степенные ряды функций ех, sin х, arc sin х. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. (Дж. Валлис, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и др.).
С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механич. величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраич. аппарата, продолжали быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров.
К последней трети 17 в. относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение осн. идей нового исчисления в статьях, опубл. в 1682-86. В отношении же времени фактического получения осн. результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, к-рый к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665-66. "Анализ с помощью уравнений" И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи англ, математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди англ, математиков. "Метод флюксий" - сочинение, в к-ром И. Ньютон дал вполне законченное систематич. изложение своей теории,- был написан в 1670-71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лить в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н. формула Ньютона - Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия "флюенты" (переменной величины) и её "флюксии" (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнении; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения
[1832-10.jpg]
Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя ма-тематич. естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования (см. Флюксий исчисление). Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы - бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие "момента", стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа, в к-рой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталъ и др. Здесь создаётся совр. стиль мате-матич. работы, при к-ром полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях др. учёных.
Кроме аналитич. геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия, в 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии гл. обр. в направлении создания осн. понятий проективной геометрии. Из других открытий 17 в. следует отметить исследования по теории чисел (Б. Паскаль, П. Ферма); разработку осн. понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения - открытием простейшей формы больших чисел закона (Я. Бернулли, опубл. в 1713). Необходимо указать ещё на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673-74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практич. последствий.
18 век. В нач. 18 в. общий стиль математич. исследований постепенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в основном новизной метода, создавался гл. обр. смело |
