МОНТАЖ (франц. montage - подъём установка, сборка, от monter - поднимать), сборка и установка сооружений конструкций, технологического оборудования агрегатов, машин (см. Сборка машин, аппаратов, приборов и др. устройств и готовых частей и элементов.
МОНТАЖ в строительстве - основной производственный процесс, выполняемый при возведении зданий и сооружений или и реконструкции, в результате которого устанавливают в проектное положение строительные конструкции, инженерное технологическое оборудование и др. МОНТАЖ технологического оборудования включает также присоединение его к источникам энергоснабжения системам очистки и удаления отходов оснащение приборами, средствами автоматизации и контроля.
СТРОИТЕЛЬНО-МОНТАЖНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ в СССР, организационно обособленные производственно-хозяйственные единицы, основным видом деятельности которых является строительство новых, реконструкция, капитальный ремонт и расширение действующих объектов (предприятий, их отдельных очередей, пусковых комплексов, зданий, сооружений), а также монтаж оборудовани я. К государственным СТРОИТЕЛЬНО-МОНТАЖНЫМ ОРГАНИЗАЦИЯМ относятся строительные и монтажные тресты (тресты-площадки, тресты гор. типа, территориальные, союзные специализированные тресты); домостроительные, заводостроительные и сельские строительные комбинаты; строительные, (монтажные) управления и приравненные к ним организации (напр., передвижные механизированные колонны, строительно-монтажные поезда и др.).
ПРОЕКТИРОВАНИЕ (от лат. projectus, буквально - брошенный вперёд), процесс создания проекта - прототипа, прообраза предполагаемого или возможного объекта, состояния. Различают этапы и стадии ПРОЕКТИРОВАНИЯ, характеризующиеся определённой спецификой. Предметная область ПРОЕКТИРОВАНИЯ постоянно расширяется. Наряду с традиционными видами ПРОЕКТИРОВАНИЯ (архитектурно-строительным, машиностроительным, технологическим и др.) начали складываться самостоятельные направления ПРОЕКТИРОВАНИЯ человеко-машинных систем (решающих, познающих, эвристических, прогнозирующих, планирующих, управляющих и т. п.) (см. Система "человек и машина"), трудовых процессов, организаций, экологическое, социальное, инженерно-психологич., генетическое ПРОЕКТИРОВАНИЕ и др. Наряду с дифференциацией ПРОЕКТИРОВАНИЯ идёт процесс его интеграции на основе выявления общих закономерностей и методов проектной деятельности.
ПРОМСТРОЙПРОЕКТ, проектный институт в ведении Госстроя СССР. Находится в Москве. Организован в 1933. В составе института архитектурно-строительные и конструкторские отделы; ПРОМСТРОЙПРОЕКТ возглавляет объединение "Союзхимстройниипроект" с проектными институтами в Киеве, Ростове-на-Дону, Тольятти, Алма-Ате. Разрабатывает проекты (архитектурно-строительные и сан.-технич. части) производственных зданий и сооружений крупнейших промышленных предприятий автомобильной, машиностроит., металлургич., химич. и др. отраслей пром-сти; схемы генеральных планов пром. узлов и упорядочения существующих пром. районов; мероприятия по повышению уровня индустриализации строительтсва за счёт унификации и типизации зданий, сооружений и конструкций и внедрения эффективных строит. материалов; нормативные документы и методич. указания по проектированию пром. зданий и сооружений. Периодически публикует реферативную информацию "Строительное проектирование промышленных предприятий". Награждён орденом Трудового Красного Знамени (1958)
| ), с 1867 - Ассоциация для защиты коммерческих интересов в отношении подвергнувшегося крушению и повреждённого имущества. С. Г. Карпович.
ЛЛОЙД ДЖОРДЖ (Lloyd George) Дэвид (17.1.1863, Манчестер,-26.3.1945, Лланистамдви, Карнарвоншир), гос. деятель^ Великобритании, лидер Либеральной партии. Род. в семье школьного учителя. Занимался юридич. практикой. В 1890 впервые избран в парламент. Стремясь завоевать популярность в массах, объявлял себя радикалом и сторонником широких реформ, действуя в то же время в соответствии с коренными интересами англ, империалистич. буржуазии. Л. Д. был наиболее ярким воплощением характерной для англ, политич. жизни системы демагогич. обмана нар. масс буржуазией с целью сохранения над ними её господства. "Я бы назвал эту систему,- писал В. И. Ленин,- ллойд- джорджизмом, по имени одного из самых передовых и ловких представителей этой системы в классической стране „буржуазной рабочей партии", английского министра Ллойд Джорджа. Первоклассный буржуазный делец и политический пройдоха, популярный оратор, умеющий говорить какие-угодно, даже ррреволю- ционные речи перед рабочей аудиторией, способный проводить изрядные подачки послушным рабочим в виде социальных реформ (страхование и т. п.), Ллойд Джордж служит буржуазии великолепно и служит ей именно среди рабочих, проводит ее влияние именно в пролетариате, там, где всего нужнее и всего труднее морально подчинить себе массы" (Поли. собр. соч., 5 изд., т. 30, с. 176). После прихода к власти либералов Л. Д. в 1905-08 мин. торговли и в 1908- 1915 мин. финансов. В 1909 с большим демагогич. шумом провёл бюджет, несколько повышавший налог на пустовавшие земли лендлордов и предусматривавший в то же время крупные ассигнования на воен.-мор. вооружения. Во время 1-й мировой войны 1914-18 выступал за ведение борьбы до решительного поражения Германии. В кон. 1916 путём интриг и сговора с консерваторами, ценой раскола Либеральной партии Л. Д. добился падения либерального пр-ва Асквита и возглавил коалиц. пр-во (премьер-мин. до окт. 1922). Л. Д.- один из гл. участников Парижской мирной конференции 1919-20 и творец Версальского мирного договора 1919. С его согласия и при его поддержке была развязана вооруж. интервенция англ, империализма против Сов. России. Однако, осознав вскоре бесперспективность такой политики, Л. Д. взял курс на установление отношений с Сов. Россией, рассчитывая вернуть её в дальнейшем на капиталистич. путь средствами экономич. и политич. давления. Провал политики пр-ва Л. Д. на Бл. Востоке, где оно организовало в 1919-20 войну против нац.-освободит, движения в Турции, позволил консерваторам устранить Л. Д. от власти и создать чисто консервативное пр-во. Упадок Либеральной партии привёл к падению политич. роли Л. Д., хотя он сохранял до конца жизни известное влияние в стране. После прихода Гитлера к власти в Германии Л. Д. полагал, что герм, нацизм может явиться безвредным для Великобритании антисоветским орудием. Убедившись в обратном, стал активно выступать за англосоветское соглашение в целях пресечения герм, агрессии. В 1945 получил титул графа. Портрет стр. 582.
Соч. в рус. пер.: Военные мемуары, т. 1-6, М., 1934-37; Правда о мирных договорах, т. 1 - 2, М., 1957.
Лит.: Виноградов К. Б., Д. Ллойд Джордж, М., 1970; Owen F., Tempestuous journey. Lloyd George, his life and times, L., 1954; Beaverbrook W. М. А-, The decline and fall of Lloyd George, L., 1963. В. Г. Трухановский.
Д. Ллойд Джордж,
ЛЛОЙДИЯ (Lloydia), род многолетних растений сем. лилейных. Небольшие луковичные травы с узколинейными листьями. Цветки мелкие, белые или жёлтые, одиночные, реже их 2-3; околоцветник воронковидный, из 6 неопадающих листочков. Плод - коробочка. Ок. 20 видов в арктической и умеренной обл. Сев. полушария. В СССР 3 вида, в т. ч. Л. поздняя (L. serotina) - арктоаль- пийский вид, встречающийся в Арктике, Карпатах, на Кавказе, в Сибири, Ср. Азии и на Д. Востоке. Растёт в тундрах, на альпийских лугах, по каменистым склонам.
"ЛЛОЙДС БАНК" (Lloyds Bank), один из крупнейших акц. коммерч. банков Великобритании. Входит в "Большую четвёрку", бывшую до 1968 ".Большой пятёркой*. Осн. в Бирмингеме в 1765, под наименованием "Тейлор энд Ллойд". С 1889 стал называться "Л. б.". За время своего существования поглотил более 50 банков. "Л. б." стоит во главе группы принадлежащих ему дочерних банков и финанс. компаний внутри страны и за её пределами ("Льюис банк", "Ллойде банк проперти компани", "Ллойде ассошиэйтед эйр лизинг" и т. д.). Участвует в капиталах ряда крупных банков и финанс. компаний. Непосредственно и через систему участия "Л. б." связан с металлургич. и машиностроит. пром-стью, в частности с автомобиле- и самолётостроением, с отраслями нефтеперерабатывающей пром-сти и пароходными компаниями. Через дочерний "Льюис банк" "Л. б." контролирует сеть крупнейших универсальных магазинов в стране. В 1970-71 в результате слияния принадлежавшего "Л. б." "Ллойде банк Юроп" с Банком Лондона и Южной Америки (в к-ром "Л. б." принадлежало ок. 25% капитала) был образован крупный междунар. банк "Ллойде энд Бол- са интернэшонал банк", в к-ром "Л. б." получил контрольный пакет акций, а вместе с ним и доступ в зап.-европ. и лат.-амер. страны. "Л. б." производит все виды банковских операций. Поддерживает корреспондентские отношения с осн. банками практически всех стран, в т. ч. и социалистических. Имеет (1972) в стране ок. 2,5 тыс. отделений. Общая сумма баланса "Л. б." на 1 янв. 1973 составляла (в млн. ф. ст.) 30/0, капитал и резервы 308, сумма депозитов и текущих счетов 2734. С. Л. Аверина.
ЛО (Law) Джон (21.4.1671, Шотландия,- 21.3.1729, Венеция), шотландский финансист, создатель т. н. системы Ло, к-рая была основана на выпуске в обращение необеспеченных бум. денег. Считая, что бум. деньги сами по себе обладают определённой ценностью, Л. утверждал, что их усиленный выпуск благотворно скажется на деловой активности и увеличении богатства нации. Предложение Л. нашло поддержку в придворных кругах Франции, находившейся накануне финансового краха. В 1716 был создан частный банк (в 1718 преобразован в государственный), бумаги к-рого гарантировались именем короля, а Л. стал министром финансов Франции. Однако вследствие чрезмерного выпуска бум. денег, не обеспеченных золотом и серебром, в 1720 гос. банк лопнул, и Л. бежал за границу. "Система Ло" сыграла определённую роль в зарождении учения физиократов (см. Физиократы). "Возникновение физиократии было связано как с оппозицией против кольбертиз- ма, так и, в особенности, со скандальным крахом системы Ло" (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 26, ч. 1, с. 31).
Соч.: Oeuvres completes, publ. par P. Harsin, v. 1 - 3, P., 1934.
Лит.: Аникин А. В., Юность науки, М., 1971. В. И. Незнанов
ЛО (Lot), река на Ю.-З. Франции, правый приток Гаронны. Дл. 480 км, пл. басе. 11,2 тыс. км2. Берёт начало на зап. склонах Севенн, пересекает в узкой долине юж. часть Центр. Франц. массива, в низовьях течёт по Гароннской низм. Питание преим. дождевое, половодье в марте - апреле, межень в июле - сентябре. Подъём уровня при паводках 3-5 м. Ср. расход воды в устье 180 м3/сек. Судоходна ниже впадения р. Трюйер. На Л.- гг. Каор, Вильнёв.
К ст. Лишайники: 1 - ксантория постенная (Xanthoria parietma); 2 - фисция звёздчатая (Physcia stellaris); 3 - цет- рария сосновая (Cetraria pinastri); 4 - графис письменный (Graphis scripta); 5 - кладония красноголовая (Cladonia сос- cifera); 6 - гипогимния вздутая (Hypogymnia physodes); 7 - пармелия оливковая (Parmelia olivacea); 8 - псора обманчивая (Psora decipiens); 9 - ризокарпон географический (Rhizocarpon geographicum); 10 - леканора буроватая (Lecanora subfuscata); 11 - гематомма ветровая (Haematomma ventosum); 12 - хенотека золотистоголовая (Chaenotheca chrysocephala).
К ст. Лишайники: 1 - кладония оленья, "олений мох" (Cladonia rangiferina); 2 - кладония бахромчатая (С. fimbriata); 3 - пельтигера собачья (Peltigera canina); 4 - аспицилия блуждающая, "лишайниковая манна" (Aspicilia vagans); 5 - уснея цветущая (Usnea florida); б - лобария лёгочная (Lobaria pulmonaria); 7 - умбиликария цилиндрическая (Umbilicaria cylindrica); 8-цетрария исландская, "исландский мох" (Cetraria islandica); 9-веррукария известняковая (Verrucaria calciseda); 10 - пертузария гладкослоевищная (Pertusaria leioplaca); 11 - сферофор шаровидный (Sphaerophorus globosus); 12-эверния сливовая, "дубовый мох" (Everma prunastri).
ЛО (Lot), департамент на Ю.-З. Франции, в басе. pp. Ло и Дордонь, частично на Центр. Франц. массиве, частично на плато Керси. Пл. 5,2 тыс. км2. Нас. 150 тыс. чел. (1972). Адм. ц.- г. Каор (Кагор). Агр. р-н; овцеводство, плодоводство. Текст, и лесообрабат. пром-сть.
ЛО И ГАРОННА (Lot-et-Garonne), департамент на Ю.-З. Франции, на Га- роннской низменности. Пл. 5,4 тыс. км2. Нас. 292 тыс. чел. (1972). Адм. ц.- г. Ажен. Агр. р-н (посевы зерновых, табака; огородничество, садоводство и виноградарство). Пищевая пром-сть.
ЛОА (Loa), река в сев. части Чили. Дл. ок. 400 км. Берёт начало в Зап. Кордильере, в ср. течении пересекает пустыню Атакаму, впадает в Тихий ок. Питание преим. грунтовое. Колебания стока незначительны. Ср. расход воды по выходе из гор 6 м31сек, в ниж. течении - 4 м3/сек. Используется для орошения. Воды родников в басе. Л.- осн. источник водоснабжения гг. Чукикамата, Калама, Антофагаста и др.
ЛОБАН (Mugil cephalus), рыба сем. кефалей. По бокам тела 12 буроватых полос. Дл. тела до 75 см, весит до 3,5 кг. Широко распространён в тропич. морях. В СССР обитает в Чёрном, Азовском, реже в Японском морях. Морская, стайная, подвижная рыба. Заходит в опреснённые участки моря (лиманы и лагуны). Половой зрелости достигает на 6-8-м году жизни. Нерест порционный в мае - сентябре, икра пелагическая. Питается обрастаниями, мелкими беспозвоночными. Промысловая рыба. Перспективный объект лиманного рыбоводства.
Лит.: Никольский Г. В., зтнэя ихтиология, 3 изд., М., 1971.
ЛОБАНОВ Андрей Михайлович [28.7 (10.8). 1900, Москва,- 18.2.1959, там же], советский режиссёр, нар. арт. РСФСР (1947Х В 1922 окончил школу 2-й студии МХАТ. В 1924-25 актёр Театра им. В. Ф. Комиссаржевской в Москве. В 30-40-х гг. режиссёр Театра- студии под рук. Р. Н. Симонова, затем художеств, руководитель Моск. театра для детей; ставил спектакли в театрах Революции, Сатиры. В 1944-58 гл. режиссёр Театра им. М. Н. Ермоловой. Первая крупная режиссёрская работа Л. в Театре-студии - "Таланты и поклонники" Островского (1931). Спектакли Л. в Театре им. М. Н. Ермоловой-"Дачники" (1949), "Достигаев и другие" (1952) Горького, "Бешеные деньги" Островского (1945) и в Театре Сатиры - "На всякого мудреца довольно простоты" Островского (1958) - стали принципиальными завоеваниями сов. театра. Тяготение к точным жанровым зарисовкам сочеталось в них с подлинно современной трактовкой конфликта, сатирич., иногда гротескной заострённостью в передаче картин доре- волюц. России. Большое внимание уделял Л. сов. драматургии. Одной из лучших режиссёрских работ Л. была "Таня" Арбузова (1939, Театр Революции). Великой Отечеств, войне и послевоен. периоду поев, спектакли "Старые друзья" Малюгина (1946), "Люди с чистой совестью" по Вершигоре, "Спутники" Пановой и Дара (оба в 1947), "Счастье" Павленко (1948). С 1933 вёл педагогич. работу в ГИТИСе (с 1948-проф.). Гос. пр. СССР (1946). Награждён орденом Трудового Красного Знамени и медалями.
Соч.: Мысли о режиссуре, в сб.; Режиссёрское искусство сегодня, М., 1962.
Лит.: Блок В., Репетиции Лобанова, М., 1962. И. В. Холмогорова.
ЛОБАНОВ Павел Павлович [р. 2(15).!. 1902, дер. Старо, ныне Дмитровского р-на Моск. обл.], советский гос. деятель, учёный-экономист в области с. х-ва, акад. ВАСХНИЛ (1948), президент ВАСХНИЛ (1956-61 и с 1965). Герой Социалистич. Труда (1971). Чл. КПСС с 1927. В 1925 окончил Моск. с.-х. академию им. К. А. Тимирязева. В 1936-37 зав. кафедрой в Моск. ин-те землеустройства. В 1937 ректор Воронежского с.-х. ин-та. Зам. наркома (1937-38) и нарком (1938) земледелия РСФСР, нарком зерновых и животноводческих совхозов СССР (1938-46). 1-й зам. министра с. х-ва СССР (1947-53). 1-й зам. пред. Сов. Мин. РСФСР и министр с. х-ва РСФСР (1953-55). Зам. пред. Сов. Мин. СССР (1955-56). Зам. пред. Госплана СССР (1961).
На 18-м съезде КПСС избран членом Центр, ревизионной комиссии. Делегат 20, 23 и 24-го съездов КПСС. На 20-м съезде КПСС - канд. в члены ЦК КПСС. В 1956-62 пред. Совета Союза Верх. Совета СССР. Деп. Верх. Совета СССР 4, 5, 7, 8-го созывов и деп. Верх. Совета РСФСР 1-4-го созывов. Почётный акад. Академии с.-х. наук ГДР (1968) и Болгарской АН (1967), иностр. член Польской АН (1971). Почётный член Королевского с.-х. об-ва Великобритании (1968).
Осн. труды по системам ведения с. х-ва в различных природно-экономич. зонах, интенсификации с. х-ва нечернозёмной зоны, целинных и залежных земель. Награждён 2 орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, орденом Трудового Красного Знамени и медалями.
П. П. Лобанов.
ЛОБАНОВА- ЯМАГАТА ПРОТОКОЛ 1896 по корейскому вопро- с у, подписан в Москве 28 мая (9 июня) министром иностр. дел России А. Б. Ло- бановым-Ростовским и представителем Японии А. Ямагата. Протокол подводил итоги рус.-япон. переговоров после убийства япон. агентами в окт. 1895 корейской королевы и бегства короля в здание рус. миссии. Обе стороны договорились о возвращении короля. Документ предусматривал в случае необходимости совместное рус.-япон. содействие Корее в получении иностр. займов, а также консультации между Россией и Японией по всем вопросам, к-рые могут возникнуть в будущем в Корее. По существу это соглашение отразило стремление царской России ограничить япон. влияние в Корее, ставшее преобладающим после японо-кит. войны 1894-95. Однако в 1898 соглашение было дополнено новым протоколом, согласно к-рому Россия обязалась не препятствовать развитию японо-корейских торг, и пром. связей.
ЛОБАНОВ-РОСТОВСКИЙ Алексей Борисович [18(30). 12.1824, Воронежская губ.,- 18 (30).8.1896, ст. Шепетовка, ок. Ровно, похоронен в Москве], князь, русский дипломат. На дипломатич. службе с 1844. Был послом в Турции (1859-63, 1878), Великобритании (1879-82), Австро-Венгрии (1882-95), Германии (1895), товарищем министра внутр. дел (1867- 1878); министром иностр. дел (1895-1896). Вместе с С. Ю. Витте - инициатор дипломатич. выступления России, Германии и Франции, заставивших Японию смягчить условия Симоносек- ского договора 1895, к-рым завершилась её война с Китаем. Участвовал в составлении рус.-кит. договора о союзе и строительстве Кит.-Вост. ж. д. и подписании соглашения с Японией (см. Лобанова- Ямагата протокол 1896). Занимался собиранием и изданием рус. архивных история, материалов 18-19 ъв , а также генеалогией рус. дворянских родов. Сотрудничал в журн. "Русская старина" и "Русский архив".
ЛОБАНЬ, река в Кировской обл. РСФСР, прав, приток р. Кильмезь (басе, р. Вятка). Дл. 169 км, ил. басе. 2810 км2. Образуется при слиянии pp. Белая и Чёрная Л. Течёт на Ю.-Ю.-В. по заболоченной низменности. Питание преим. снеговое. Ср. расход в 56 км от устья 14,3 м3/сек, наибольший 625 м31сек. Сплавная.
ЛОБАРИЯ (Lobaria), род лишайников сем. стиктовых. Имеют вид крупных листовидных, по краям выемчатых пластинок. Растут на коре деревьев, реже на др. субстратах, преим. в тёплых странах,. Известно ок. 80 видов; в СССР ок. 15 видов, встречаются гл. обр. на Д. Востоке. Наиболее распространена т. н. лёгочная Л. (L. pulmonaria) с сет- чато-ямчатой верхней стороной, несколько напоминающей лёгкое. Используется в парфюмерной пром-сти.
ЛОБАСТЫЕ БЫКИ (Bibos), род (под- род) крупных жвачных млекопитающих сем. полорогих. Близки к настоящим быкам и буйволам. Холка приподнята. Лоб широкий плоский (отсюда назв.). Рога имеются у самцов и самок, слегка сплюснуты сверху вниз, направлены в стороны и назад. Окраска от рыжеватой до тёмно-бурой, почти чёрной; в отличие от остальных быков, у Л. б. ноги в нижней части белые. Распространены Л. б. в Индии, Индокитае и на Зондских о-вах. Обитают в равнинных лесах с полянами. Держатся небольшими группами. Питаются преим. травами, частично - листвой. Самки рождают по 1 телёнку. Численность Л. б. падает, нек-рые виды очень редки. 3 вида: гаур (одомашненная форма - гаял), бантенг (домашняя форма - балийский скот) и купрей.
Лит.: Жизнь животных, т. 6, М., 1971.
ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович [20.11 (1.12).1792, Н. Новгород, ныне г. Горький,- 12 (24).2.1856, Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и нар. просвещения. Род. в семье мелкого чиновника. Почти всю жизнь Л. провёл в Казани. Там он учился в гимназии (1802-07) на казённом содержании, затем в Казанском ун-те (1807-11). Рано обнаружил выдающиеся способности, по окончании ун-та получил степень магистра (1811) и был оставлен при ун-те; в 1814 стал адъюнктом, в 1816 - экстраординарным и в 1822 - ординарным профессором. Несмотря на реакционную обстановку, сложившуюся в годы попечительства М. Л. Магницкого, Л. вёл напряжённую научную и педагогич. работу (преподавал математику, физику и астрономию), закупил в столице оборудование для физ. кабинета и книги для библиотеки, а затем возглавлял её 10 лет (с 1825); Л. заведовал обсерваторией; избирался деканом физико-математич. факультета (1820-22, 1823-25). Но столкновения с попечителем обострились: Л. отстаивал в преподавании науч. материалистич. взгляды.
В эти годы Л. отыскивал пути строгого построения начал геометрии. Сохранились: студенческие записи его лекций (от 1817), где им делалась попытка доказать постулат параллельности Евклида, но в рукописи учебника "Геометрия" (1823) он уже отказался от этой попытки. В "Обозрениях преподавания чистой математики" на 1822/23 и 1824/25 Л. указал на "до сих пор непобедимую" трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы. Наконец, преодолев тысячелетние традиции, он приходит к созданию новой геометрии - т. н. геометрии Лобачевского. 7 февр. 1826 он представил для напечатания в Записках физ.-матем. отделения сочинение: "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных" (на франц. яз.). 11 февр. оно было рассмотрено и назначены рецензенты. Сам Л. указывал, что он читал это рассуждение на заседании отделения 12 февр. Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Л. в его труд "О началах геометрии" в журн. "Казанский вестник" (1829-30), явившийся первой в мировой литературе публикацией по неевклидовой геометрии. Исходя из поисков безусловной строгости и ясности в началах геометрии, Л. рассматривает аксиому параллельности Евклида как произвольное ограничение, как требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Он заменяет эту аксиому требованием более широким и общим, именно: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную (по существу не менее чем одна, если учесть предельный случай).
Разработанная Л. новая геометрия существенно отличается от евклидовой геометрии, но при больших значениях входящей в формулы нек-рой постоянной R (радиус кривизны пространства) отклонение становится незначительным (см. Лобачевского геометрия).
В соответствии со своим материалистич. подходом к изучению природы, Л. полагал, что только науч. опыт может выявить, какая из геометрий осуществляется в физ. пространстве. Используя новейшие астрономич. данные того времени, он пришёл к выводу, что число R очень велико и отклонения от евклидовой геометрии если и существуют, то заключены в пределах ошибок измерений. Т. о., была обоснована практич. пригодность евклидовой геометрии. Кроме того, Л. показал, как его геометрию можно применять в др. разделах математики, а именно в математич. анализе при вычислении определённых интегралов.
Доклад Л. совпал по времени с увольнением Магницкого. Л. был высоко оценён новым попечителем - М. Н. Мусиным-Пушкиным. Л. избрали ректором (1827) и за 19 лет руководства ун-том он добился его подлинного расцвета. Программа деятельности Л. отражена в его замечательной речи "О важнейших предметах воспитания" (1828, опубл. 1832), в к-рой обрисован идеал гармонич. развития личности, подчёркнуто обществ, значение воспитания и образования, освещена роль наук и долг учёного перед страной и народом.
В бытность Л. ректором было осуществлено в 1832-40 строительство целого комплекса вспомогательных зданий: библиотека, астрономич. обсерватория, физ. кабинет и хим. лаборатория, анатомич. театр, клиника и др. Он положил начало "Учёным запискам Казанского ун-та" (1834) и развил издательскую деятельность. Уровень научно-учебной работы повысился, контингент студентов возрос. Ун-т стал важным центром востоковедения. Немало сил Л. вкладывал и в улучшение постановки преподавания в гимназиях и училищах округа. В моменты стихийных бедствий (эпидемия холеры в 1830, пожар Казани в 1842) особенно ярко проявилась его забота, об ун-те. Но ректорство не отрывало Л. от преподавания: в разные годы он читал лекции по аналитич. механике, гидромеханике, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям, математич. физике, вариационному исчислению, а в 1838-40 - научно-популярные лекции по физике для населения. Студенты высоко ценили лекции Л.
Однако науч. идеи Л. не были поняты современниками. Его труд "О началах геометрии", представленный в 1832 советом ун-та в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку, а в 1834 в реакц. журн. "Сын отечества" появилась анонимная издевательская статейка. Но Л. не прекратил разработки своей геометрии. Его работы появлялись в 1835-38, а в 1840 в Германии вышла его книга "Геометрические исследования" (на нем. языке). Эта стойкая борьба за науч. истину отличает Л. от двух его современников, тоже пришедших к открытию неевклидовой геометрии. Венг. математик Я. Болъяй опубликовал свой труд позднее Л. (1832). Не встретив поддержки у современников, он не продолжил исследований. Нем. математик К. Ф. Гаусс также владел началами неевклидовой геометрии. Но из опасения встретить непонимание Гаусс не разрабатывал их далее и не опубликовал. Однако, не высказываясь в печати, он высоко оценил труды Л., и по его предложению Л. был в 1842 избран членом- корреспондентом Гёттингенского учёного общества.
Л. получил ряд ценных результатов и в др. разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений (Лобачевского метод), в математич. анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрич. рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.
В 1846 Л. оказался фактически отстранённым от ун-та. Он был назначен помощником нового попечителя (без оплаты) и лишён ректорства. Здоровье его пошатнулось. Но семейное горе - смерть сына, материальные затруднения и развивавшаяся слепота не могли сломить мужества Л. Последнюю работу "Пан- геометрию" он создал за год до смерти, диктуя её текст.
Л. умер непризнанным. Большую роль в признании трудов Л. сыграли исследования Э. Белътрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Казанский ун-т и физико-математич. об-во провели большую работу по выявлению значения идей Л. и изданию его геомет- рич. сочинений. Широкое признание пришло к 100-летнему юбилею Л.- была учреждена международная премия, в Казани открыт памятник (1896).
Соч.: Поли. собр. соч., т. 1-5, М.- Л., 1946-51; Избр. труды по геометрии, М.- Л., 1956.
Лит.: Васильев А. В., Лобачевский, СПБ, 1914; Каган В. Ф., Лобачевский, 2 изд., М,- Л., 1948 (имеется библ.); Лаптев Б. Л., Великий русский математик, "Вестник высшей школы", 1967, № 12; Историко-математические исследования, в. 3, 4, 6, 11, М.- Л., 1950-58 (ряд статей); Модзалевский Л. Б., Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, М.- Л., 1948. Б.Л.Лаптев.
Н. И. Лобачевский.
ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ, геометрическая теория, основанная на тех же осн. посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, к-рая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В Л. г. вместо неё принимается след, аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Казалось бы, эта аксиома противоречит чрезвычайно привычным представлениям. Тем не менее как эта аксиома, так и вся Л. г. имеет вполне реальный смысл (о чём см. ниже). Л. г. была создана и развита Н. И. Лобачевским, к-рый впервые сообщил о ней в 1826. Л. г. наз. неевклидовой геометрией, хотя обычно термину "неевклидова геометрия" придают более широкий смысл, включая сюда и др. теории, возникшие вслед за Л. г. и также основанные на изменении осн. посылок евклидовой геометрии. Л. г. наз. специально гиперболической неевклидовой геометрией (в противоположность эллиптической геометрии Римана) (см. Неевклидовы геометрии, Римана геометрия).
Л. г. представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Исто- рич. её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще (см. Геометрия). С современной точки зрения можно дать, напр., следующее определение Л. г. на плоскости: она есть не что иное, как геометрия внутри круга на обычной (евклидовой) плоскости, лишь выраженная особым образом. Именно, будем рассматривать круг на обычной плоскости (рис. 1) и внутренность его, т. е. круг, за исключением ограничивающей его окружности, назовём "плоскостью". Точкой "плоскости" будет точка внутри круга. "Прямой" будем называть любую хорду (напр., a, b, b', MN) (с исключёнными концами, т. к. окружность круга исключена из "плоскости"). "Движением" назовём любое преобразование круга самого в себя, к-рое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрич. факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому Л. г. Иными словами, всякое утверждение Л. г. на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, т. к. через точку О, не лежащую на данной хорде а (т. е. "прямой"), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд ("прямых") (напр., Ь, Ь'). Аналогично, Л. г. в пространстве может быть определена как геометрия внутри шара, выраженная в соответствующих терминах ("прямые" - хорды, "плоскости" - плоские сечения внутренности шара, "равные" фигуры - те, к-рые переводятся одна в другую преобразованиями, переводящими шар сам в себя и хорды в хорды). Т. о., Л. г. имеет совершенно реальный смысл и столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Описание одних и тех же фактов в разных терминах или, напротив, описание разных фактов в одних и тех же терминах представляет характерную черту математики. Она ясно выступает, напр., когда одна и та же линия задаётся в разных координатах разными уравнениями или, напротив, одно и то же уравнение в разных координатах представляет различные линии.
Возникновение геометрии Лобачевского. Источником Л. г. послужил вопрос об аксиоме о параллельных, к-рая известна также как V постулат Евклида (под этим номером утверждение, эквивалентное приведённой выше аксиоме о параллельных, фигурирует в списке постулатов в "Началах" Евклида). Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.
Вот неполный перечень учёных, занимавшихся доказательством V постулата до 19 в.: др.-греч. математики Птолемей (2 в.), Прокл (5 в.) (доказательство Прокла основано на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (кон. 10 - нач. 11 вв.) (Ибн аль- Хайсам пытался доказать V постулат, исходя из предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), тадж. математик Омар Хайям (2-я пол. 11 - нач. 12 вв.), азерб. математик Насирэддин Туей (13 в.) (Хайям и Насирэддин при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения), нем. математик К. Клавий (Шлюссель, 1574), итал. математики П. Катальди (впервые в 1603 напечатавший работу, целиком поев, вопросу о параллельных), Дж. Бо- релли (1658), Дж. Витале (1680), англ, математик Дж. Валлис (1663, опубл. в 1693) (Валлис основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура). Доказательства перечисленных выше геометров сводились к замене V постулата др. предположением, казавшимся более очевидным. Итал. математик Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать V постулат от противного. Приняв предложение, противоречащее постулату Евклида, Саккери развил из него довольно обширные следствия. Ошибочно признав нек-рые из этих следствий приводящими к противоречиям, Саккери заключил, что постулат Евклида доказан. Нем. математик И. Ламберт (ок. 1766, опубл. в 1786) предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логич. противоречие. Попытки доказательства постулата предпринимались и в 19 в. Здесь следует отметить работы франц. математика А. Лежандра; одно из его доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, т. е., как и все его предшественники, он заменил постулат др. допущением. Довольно близко к построению Л. г. подошли нем. математики Ф. Швейкарт (1818)и Ф. Тау- ринус (1825), однако ясно выраженной мысли о том, что намечаемая ими теория будет логически столь же совершенна, как и геометрия Евклида, они не имели. Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух тысячелетий, был решён Лобачевским. Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе др. посылок евклидовой геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Лобачевский сделал об этом сообщение в 1826, а в 1829-30 напечатал работу "О началах геометрии" с изложением своей теории. В 1832 была опубликована работа венгерского математика Я. Болъяй аналогичного содержания. Как выяснилось впоследствии, немецкий математик К. Ф. Гаусс также пришёл к мысли о возможности существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал её, опасаясь быть непонятым. Хотя Л. г. развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её "воображаемой геометрией", тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решён вопрос о её реальном смысле, логич. непротиворечивости.
Интерпретации (модели) геометрии Лобачевского. Л. г. изучает свойства "плоскости Лобачевского"(в планиметрии) и "пространства Лобачевского" (в стереометрии). Плоскость Лобачевского - это плоскость (множество точек), в к-рой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем - расстоя-' ния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, к-рая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла Л. г. состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в к-рых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Л. г. (об интерпретации вообще см. Геометрия, раздел Истолкования геометрии). Итал. математик Э. Бельтрами в 1868 заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример к-рых представляет псевдосфера (рис. 2). Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, т. е. деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме Л. г. будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. Т. о., Л. г. получает простой реальный смысл. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естеств. измерения их на псевдосфере. Однако здесь даётся интерпретация только геометрии на куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости и тем более не в пространстве (в 1901 Д. Гильберт доказал даже, что вообще в евклидовом пространстве не может существовать регулярной поверхности, геометрия на к-рой совпадает с геометрией всей плоскости Лобачевского).
В 1871 Ф. Клейн указал ту модель как всей плоскости, так и пространства Лобачевского, к-рая была описана выше и в к-рой плоскостью служит внутренность круга, а пространством - внутренность шара. Между прочим, в этой модели расстояние между точками А и угол - ещё сложнее.
Позже А. Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал др. модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис. 3), прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его | диаметры, движениями -преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги к-рых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель Л. г. в пространстве.
Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга (пространством - внутренность шара), и Л. г. есть учение о тех свойствах фигур внутри круга (шара), к-рые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре - при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования есть те, к-рые переводят прямые в прямые, конформные - те, к-рые сохраняют углы).
Возможно чисто аналитич. определение модели Л. г. Напр., точки плоскости можно определять как пары чисел x, у, прямые можно задавать уравнениями, движения - формулами, сопоставляющими точкам (х, у) новые точки (x', у'). Это будет абстрактно определённая аналитич. геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитич. геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитич. геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о модели. Другое аналитич. определение Л. г. состоит в том, что Л. г. определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны (см. Рима- новы геометрии). Это определение было фактически дано ещё в 1854 Б. Рима- ном и включало модель Л. г. как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с Л. г., а его доклад, в к-ром он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в 1868).
Содержание геометрии Лобачевского. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от осн. геометрич. понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрич. методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие Л. г. от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к к-рой относятся, напр., теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём неск. фактов Л. г., отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
1) В Л. г. не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, напр., сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2) Сумма углов всякого треугольника меньше я и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность я - (a -f- 3 + -у), где а, |3, 7 - углы треугольника, пропорциональна его площади.
3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние Ь, Ь', к-рые и наз. параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) a общий конец (к-рый по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол а между прямой Ъ (или Ь') и перпендикуляром из О на а - т. н. угол параллельности - по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель Ь с одной стороны (а 6' с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, к-рые не достигают другой прямой.
5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее.
9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрич. соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Напр., чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от я; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2я, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г. переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле "предельный" случай Л. г.
Л. г. продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрич. идеям. В целом Л. г. является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.
Приложения геометрии Лобачевского.
Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с Л. г. была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, к-рый писал, что "неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи". Л. г. находит применение также в теории чисел, в её геометрич. методах, объединённых под названием "геометрия чисел" (см. Чисел теория). Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой специальной (частной) теории относительности (см. Относительности теория). Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
[1409-2.jpg]
при делении на t2, т. е. для скорости света, даёт - уравнение
[1409-3.jpg]
сферы в пространстве с координатами
[1409-4.jpg]
- составляющими скорости по осям x, у, z (в "пространстве скоростей"). Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место Л. г.
Замечательное приложение Л. г. нашла в общей теории относительности (см. Тяготение). Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космич. масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет Л. г. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
Лит.: Лобачевский Н. И.. Сочинения по геометрии, М.- Л., 1946-49 (Полн. собр. соч., т. 1-3); Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Д е л о н е Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956; Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955; Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955; его же. Геометрия Лобачевского и ее предистория, М.- Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1); Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Погорелое А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968; РозенфельдБ. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; Нут Ю. Ю., Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961; Андриевская М. Г., Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского, К., 1963. А. Д. Александров.
1409.htm
ЛОГАРИФМ числа N по основанию а, показатель степени т, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN. Итак, т = logaN, если а™ = N. Напр., log.о 100 = 2; Iog2 -32" = -5; loga I =0, т. к. 100 =102, -32" = 2-5, 1= аО. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ?-. 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств, действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Осн. свойства Л.:
.[1409-5.jpg]
позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня - к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.
Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10" с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа, к-рые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. х а- рактеристикой, дробную - мантиссой. Так как lg(10feN) = = k + lg-V, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10й, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы).
Большое значение имеют также н а- туральные Л., основанием которых служит трансцендентное число е = 2,71828...; их обозначают InN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле log&N = = logaN/logab, множитель l/log.,6 наз. модулем перехода (перевода) от основания а к основанию Ь. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем
[1409-6.jpg]
Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономич. наблюдений и усложнением астрономич. выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрич. прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметич. прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и нем. математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмич. таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейц. математиком Й.Бюрги(1620). Важный шаг в теоретич. изучении Л. сделал белы, математик Григорий из Сен-Вин- цента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Мер- катором (1668), нашедшим, что
[1409-7.jpg]
Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение
[1409-8.jpg]
Этот ряд очень быстро сходится, если М -= N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.
Термин "Л." предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греч. слов logos (здесь - отношение) и arithmos (число); в антич. математике квадрат, куб и т.д. отношения а/6 наз. "двойным", "тройным" и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова "logu arithmos" означали "число (кратность) отношения", то есть Л. у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин "натуральный логарифм" принадлежит Н. Меркатору, "характеристика"- англ, математику Г. Бригсу, "мантисса" в нашем смысле - Л. Эйлеру, "основание" Л. - ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Совр. определение Л. впервые дано англ, математиком В. Гардинером (1742). Знак Л.- результат сокращения слова "Л."- встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. - Б. Каваль- ери (1632, 1643)].
Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М.- Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.
ЛОГАРИФМИКА, плоская кривая, являющаяся графиком логарифмической функции.
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ, действие, заключающееся в нахождении логарифма числового, алгебраического или иного выражения. Л.- одно из двух действий, обратных возведению в степень: если
[1409-9.jpg]то [1409-10.jpg] и [1409-11.jpg]
В вычислительной практике Л. употребляется для сведения действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., для приближённого вычисления
[1409-12.jpg]
пользуются соотношением
[1409-13.jpg],[1409-14.jpg]
а затем логарифмическими таблицами.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ БУМАГА, специальным образом разграфлённая бумага; обычно изготовляется типографским способом. Она строится следующим образом (рис. 1): на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел и (на оси абсцисс) и v (на оси ординат); затем через найденные точки (и, v) проводятся прямые, параллельные осям. Наряду с Л. б. применяется полулогарифмическая бумага (рис. 2): на одной из осей прямоугольной системы координат откладываются числа и, а на другой - десятичные логарифмы чисел v. Л. б. и полулогарифмич. бумага служат для вычерчивания на них графиков функций, к-рые здесь могут принимать более простую и наглядную форму и в ряде случаев выпрямляются. На Л. б. прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v - аи , где а и Ь - постоянные коэффициенты, т. к. такие уравнения после логарифмирования и перехода к системе координат x = lg и, у = lg v приводятся к виду:
Аналогично на
[1409-15.jpg]
полулогарифмич. бумаге прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v =
- ab . Это свойство Л. б. и полулогарифмич. бумаги находит применение при отыскании аналитич. формы эмпирич. зависимостей. Если, напр., ряд точек с координатами и(, f., где и| - значения аргумента и, при к-рых из опыта получены значения Vi функции v, нанесённых на Л. б., с достаточной точностью располагается на прямой, то прямую принимают за график функции v = f (и), к-рую, следовательно, можно записать в виде
[1409-16.jpg]
Для случая полулогарифмич. бумаги зависимость будет иметь вид
[1409-17.jpg]
Коэфф. а и Ъ находятся по чертежу.
Рис. 1. Логарифмическая бумага.
Рис. 2. Полулогарифмическая бумага.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА, счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью к-рого операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и др.) заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка (из стекла или плексигласа), имеющего визирную линию (рис. 1). На корпусе и движке нанесены осн. шкалы С и D, размеченные так, что положение любого числа X (целого или дробного от 1 до 10) определяется длиной отрезка, равного pig X, отложенного от начала шкалы (р. - масштабный коэфф., т. н. модуль шкалы). Геометрич. сложение (вычитание) отрезков шкал С и D посредством перемещения движка относительно корпуса на Л. л. заменяет операцию умножения (деления) соответствующих чисел. Кроме указанных шкал С и D, на Л. л. наносят шкалы г (R), X2 (А, В), Х3(К), (R)-X2, е*, lg X (L), шкалы значений тригонометрич. функций и др.
Л. л., прообразом к-рой явилась т. н. гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена англ, математиком Э. Ганте- ром вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логариф- мич. шкала (линейка), на к-рой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 англ, математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали: в 1650 была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрич. поверхности; в 30-х гг. 19 в. появился прибор, действующий по принципу линейки Гантера, выполненной в виде часов с вращающимся циферблатом (логарифмич. шкала) и подвижной стрелкой,- прообраз совр. круглых Л. л. (рис. 2); в 1850 к Л. л. был добавлен бегунок, что значительно упростило работу с ней; в нач. 20 в. для расчётов с повышенной точностью использовались т. н. счётные вальцы (рис. 3) - вид Л. л., шкалы к-рой нанесены по образующим цилиндрич. вальцов; движком служил полый цилиндр с окнами, прорезанными против осн. шкал; деление движка нанесено по краям этих прорезей. Совр. Л. л. - простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2-3 знаками (для обычной Л. л. длиной 25 см с ц = 250 мм).
Л. л. с ц = 500-750 мм дают точность 4-5 знаков. Лит.: П а н о в Д. Ю., Счетная линейка, 21 изд., М., 1973.
Рис. 1. Логарифмическая линейка.
Рис. 2. Круглая логарифмическая линейка.
Рис. 3. Счётные вальцы.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ, плоская спиральная кривая (см. Линия).
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается [1409-18.jpg] (1)
её значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа x. В силу определения соотношение (1) равносильно
[1409-19.jpg]
(2) (е - неперово число). Т. к.
[1409-20.jpg]
при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. наз. функцию где а >0
[1409-21.jpg]
1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математич. анализе особое значение имеет функция In х; функция loga х приводится к ней по формуле: гдеМ = 1/1п
[1409-22.jpg]
а. Л. ф.- одна из осн. зле- ментарных функций; её график (рис. 1) носит назв. л о- г а р и ф м и- к и. Осн. свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и лога р и ф м о в; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
[1409-23.jpg]
Для -1 < х S. 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд: Многие
[1409-24.jpg]
интегралы выражаются через Л. ф.; напр.
[1409-25.jpg]
Л. ф. постоянно встречается в математич. анализе и его приложениях.
Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (Y) движется равномерно, исходя из
С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dxldy = -kx, откуда
[1409-26.jpg]
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента 2 ^ 0, и обозначается Ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как [1409-27.jpg]
где arg г - аргумент комплексного числа z, носит назв. главного значения Л. ф. Имеем [1409-28.jpg]
Все значения Л. ф. для отрицательных действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), к-рый исходил из определения
[1409-29.jpg]
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и WN (при k целом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg 10*N = k + + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = 4~,30103, т.о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).
Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-знач- ные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях - таблицы, позволяющие без большого труда вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л.т. часто приводятся таблицы антилогарифмов - чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы т. н. г а- уссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы тригонометрич. величин.
Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейц. математиком И. Бюрги. Таблицы Непера "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614) и "Устройство удивительной таблицы логарифмов" (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 107, а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 107 был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 107, у него положительны. Непер не ввёл понятия об основании системы логарифмов. Его логарифм числа N в совр. обозначениях приблизительно равен 107ln107/N . Свойства логарифмов Непера несколько сложнее обычных, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.
"Арифметические и геометрические таблицы прогрессий" (1620) Бюрги представляют собой первую таблицу антилогарифмов ("чёрные числа") и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам ("красным числам"). "Красные числа" Бюрги суть логарифмы поделённых на 108 "чёрных чисел" при основании. Таблицы Бюрги и особенно Непера немедленно привлекли внимание математиков к теории и вычислению логарифмов. По совету Непера англ, математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и затем 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы иногда наз. бриговыми). 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голл. математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли много изменений в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 ошибки, у австр. математика Г. Вега в 1783- пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 нем. математик К. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 при участии Л. Ф. Магницкого. Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были опубл. в 1802 итал. математиком 3. Леонелли; К.Ф.Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в общее употребление.
Лит.: Б р а д и с В. М., Четырехзначные математические таблицы, М.- Л., 1928, поел., 44 изд., М., 1973; М и л н - Т о м сон Л.-М., К о м р и Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; В era Г., Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М.- Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел..., М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1-2, М., 1971.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРИЁМНИК, транзисторный или ламповый радиоприёмник, в к-ром амплитудная характеристика усилителя промежуточной или видеочастоты представляется лога- рифмич. законом. Л. п. позволяет принимать сигналы с динамич. диапазоном до 100 дб и уменьшает действие электрич. помех нек-рых видов,, Логарифмич. амплитудная характеристика может быть получена, напр., посредством включения нелинейного элемента (диода) параллельно коллекторной или анодн |
